Feynman va phương pháp tính nhẩm

Một ngày tại Princeton, tôi đang ngồi trên ghế đi-văng và nghe vài nhà toán học nói chuyện về dãy khai triển ex, tức là 1+ x + x2/2! + x3/3! . Mỗi số hạng phía sau được tạo bằng cách nhân số hạng lion trước với x và chia cho số thứ tự của nó. Chẳng hạn, để biết số hạng tiếp theo của x4/4!, hãy nhân số đó với x và chia cho 5. Thật là đơn giản!
Khi còn là một đứa trẻ, tôi đã rất ấn tượng với dãy số này, và thường chơi với nó. Tôi tính e dựa theo dãy đó và nhận thấy các số hạng tiếp theo trở nên vô cùng nhỏ.
Tôi lẩm bẩm rằng có thể tính được luỹ thừa co số e với số mũ bất kỳ bằng cách đó (chỉ việc thay số mũ bởi x).
“Thật sao?” Các nhà toán học nghe thấy “ Vậy, e mũ 3,3 bằng bao nhiêu?” Một người trong số họ hỏi. Tôi nghĩ đó là Turkey.
Tôi trả lời: “Thật đơn giản. 27,11”.
Turkey biết thật không dễ để nhẩm được như vậy. “Này, cậu làm thế nào thế?”
Một người khác nói: “Chúng ta biết Feymann rồi đấy! Hắn chỉ giả vờ thôi. Hiển nhiên là không phải thế.”
Họ kiếm bảng số, trong lúc ấy, tôi đưa thêm vài con số sau dấu phẩy: “27,1126.”
Khi tìm thấy kết quả trong bảng số, mọi người thốt lên: “Đúng là như vậy! Nhưng làm sao cậu làm được như thế?”
“Tôi chỉ đơn giản là cộng dãy e mũ.”
“Không ai có thể cộng nhanh như vậy được! Phải có một mẹo gì đó. Thế e mũ 3 bằng bao nhiêu?”
“Đấy!” tôi đùa “Đây là một công việc khó! Có lẽ phải mất một ngày!”
“Ha ! Đúng là cậu chỉ giả vờ!” Mấy nhà toán học cười sung sướng.
“Thôi được,” tôi tiếp “ bằng 20.085”.
Và một lần nữa, khi họ tra bảng số, tôi nêu thêm vài chữ số thập phân. Giờ đây thì họ đã thật sự cảm thấy kinh ngạc, vì tôi đã đưa ra thêm một kết quả đúng.
Đây là những nhà toán học vĩ đại ở thời đại của chúng ta, và họ đang băn khoăn tại sao tôi có thể tính nhanh như vậy! Một trong số đó lên tiếng “Hắn không thể chỉ cộng và nhân – quá khó để làm như vậy. Ở đây hẳn phải có một mẹo nào đó. Feymann, anh không thể làm như vậy với một số bất kỳ phải không? Ví dụ e mũ 1,4?”
Tôi trả lời “Đó quả là một phép tính khó, nhưng chỉ với anh mà thôi. OK, kết quả là 4,05”.
Và khi họ tra bảng, tôi lại đưa thêm vài chữ số rồi nói “Đây là phép tính cuối cùng của ngày hôm nay nhé?” rồi đi luôn khỏi đó.
Thực tế câu chuyện là như thế nào? Tôi biết trước ba phép tính – loga tự nhiên của 10 là 2,3026, tức là e mũ 2,3 rất gần với 10, và từ chu kỳ bán rã phóng xạ tôi biết loga tự nhiên của 2 là 0,69315 ( tức là biết thêm rằng e mũ 0,7 gần bằng 2). Và cuối cùng, tôi biết số e (mũ 10) bằng 2,71828.
Phép tính đầu tiên tôi được thử thách là e mũ 3,3, tức là e mũ 2,3 – tức là 10 – nhân với e, kết quả là 27,18. Và trong khi họ đang trầm trồ xem tôi làm thế nào, tôi cho thêm các chữ số 0,0026, tức là với độ chính xác cao hơn.
Tôi đã nghĩ rằng tôi không thể làm tiếp một phép tính như vậy, đó quả là một sự may mắn. Nhưng khi câu thứ 2 được đưa ra: tính e mũ 3, đó chính là e mũ 2.3 nhân với e mũ 0.7, hay là 10 nhân với 2. Tức là tôi biết kết quả khoảng 20, và khi họ còn lo lắng tìm hiểu xem tôi làm thế nào, tôi tính thêm được 0,693.
Sau đấy, tôi hầu như chắc chắn mình sẽ chẳng thể làm tiếp được nữa, bởi chẳng ai may mắn quá 2 lần. Thế nhưng khi có người yêu cầu e mũ 1,4, tức là e mũ 0,7 nhân với chính nó. Vì vậy tôi tất cả công việc phải làm chỉ là tìm vài chữ số thập phân sau 4,0!
Họ sẽ không bao giờ tưởng tượng tại sao tôi có thể tính toán như vậy!
Khi còn ở Los Alomos, tôi đã biết Hans Bethe là một chuyên gia trong lĩnh vực tính toán. Ví dụ, một lần chúng tôi đang tính một phương trình, và cần biết kết quả của 48 bình phương. Tôi với lấy cái máy tính Marchant, thì anh ấy nói “ Bằng 2300” Và khi tôi bắt đầu bấm số, anh ấy nói “Bằng 2304, nếu anh cần thêm độ chính xác.”
Máy tính hiện lên 2304. “Trời! Thật là kinh ngạc!” Tôi thốt lên.
“Chẳng lẽ anh không biết cách tìm bình phương của một số gần 50?” Anh đáp “Hãy bình phương 50 – tức là 2500 – rồi trừ đi 100 lần hiệu của 50 và số đó ( trong trường hợp này thì hiệu là 2), tức là chúng ta đã có 2300. Nếu muốn chính xác hơn, bình phương hiệu số đó rồi cộng với kết quả vừa tìm. Thế là có 2304.”
Một vài phút sau, chúng tôi lại phải tính căn bậc 3 của 5/2. Để làm việc này với máy Marchant, bạn phải tra bảng để tìm được xấp xỉ bậc 1. Và khi tôi mở tủ lấy bảng số, Hans nói “ Kết quả khoảng 1,35”.
Và sau khi thử trên máy tính, đấy lại là một kết quả đúng. “Anh làm như vậy bằng cách nào?” Tôi hỏi “Anh có bí quyết gì trong việc lấy căn bậc 3 vậy?”
“ò”, Hans bắt đầu nói “log của 5/2 là (tôi cũng không nhớ rõ đoạn này), như vậy 1/3 của log đó khoảng ở giữa log của 1,3 và log của 1,4, từ đó tôi tính ra kết quả.”
Tôi nhận ra được vài điều: thứ nhất, anh ấy thuộc bảng logarit, thứ hai, thời gian để nhẩm những phép tính như vậy ít hơn hẳn việc phải lấy bảng tính và dùng máy Marchant. Tôi thật sự bị ấn tượng.
Từ đó, tôi cố gắng tính nhẩm. Tôi nhớ một vài kết quả loga, và bắt đầu để ý đến các phép tính. Chẳng hạn, khi một người hỏi “28 bình phương bằng bao nhiêu?” Nhận thấy căn bậc 2 của 2 là 1,4 và 28 là 20 nhân với 1,4. Như vậy kết quả năm khoảng 400 nhân 2, tức là 800.
Nếu một ai đó muốn tính 1 chia cho 1,73, bạn có thể trả lời ngay kết quả là 0.577, vì bạn nhân ran gay rằng 1,73 là khoảng căn bậc 2 của 3, vì vậy 1/1,73 khoảng một phần ba của căn bậc 2 của 3. Và nếu câu hỏi là 1/1.75, đó chính là nghịch đảo của 7/4, và bạn chỉ việc nhớ việc lấy thập phân của phép chia cho bảy 0.571425….
Tôi đã có rất nhiều điều thú vị khi tính toán như vậy, bằng mẹo, cùng với Hans, Hiếm khi tôi có thể tìm thấy những gì anh ấy chưa thấy và trả lời nhanh hơn anh. Anh cũng cười rất vui khi tôi có một kết quả đúng. Anh ấy quả thực có thể tính được mọi phép tính với độ chính xác trong khoảng 1%. Đó là một việc dễ dàng với anh, mọi con số đều nằm trong khả năng tính toán của Hans.
Trong lần đầu tiên đến Brazil, tôi ăn trưa ở một nhà hàng và tôi là khách hàng duy nhất (tôi luôn luôn dùng bữa không đúng giờ). Tôi đang ăn cơm với steak và có vài người phục vụ đang ở xung quanh. Một người Nhật đi vào nhà hàng. Tôi đã từng trông thấy người này: anh ta đang cố gắng bán bàn tính. Người Nhật đó bắt đầu bắt chuyện với những người phục vụ và thách đố họ: anh ta nói không ai có thể làm phép cộng nhanh hơn chiếc bàn tính. Những người phục vụ không muốn mất mặt, họ nói: “ Tại sao ông không ra kia và thách thức người khách ngồi đó ?”
Người đàn ông đi tới. Tôi nói : “ Tôi không nói được nhiều tiếng Bồ Đào Nha”.
Những người phục vụ cười: “ Những phép toán này dễ thôi mà”. Và họ mang tới một chiếc bút chì cùng một tờ giấy.
Người Nhật đề nghị một người phục vụ nêu ra một phép tính cộng, và anh ta đã thắng tôi hoàn toàn, bởi vì trong khi tôi đang viết những con số, anh ta đã làm xong phép cộng bằng bàn tính.
Tôi yêu cầu những người phục vụ đã viết hai dãy số và đưa cùng lúc để không tạo ra sự khác biệt. Và tay người Nhật thắng thêm một số lần nữa.
Tuy nhiên, hắn ta vẫn muốn chứng tỏ mình (có lẽ hắn đã thấy hưng phấn). Multilicacao , hắn nói.
Một vài người viết những phép nhân khác và anh ta lại nhanh hơn tôi, nhưng không nhiều, bởi vì tôi khá giỏi trong việc làm phép tính này.
Người Nhật này đã phạm một sai lầm: anh ta muốn chúng tôi làm thêm một vài phép chia. Hắn không biết rằng, phép tính càng khó, tôi càng có nhiều cơ hội thắng.
Chúng tôi làm một phép chia dài. Lần này thì hoà nhau. Kết quả này làm phiền lòng tay người Nhật quái quỉ, bởi vì anh ta luôn thể hiện rằng mình làm rất tốt trên bàn tính, vậy mà ở đây anh ta đã hầu như bị đánh bại bởi một vị khách trong một quán ăn.
Raios cubicos . anh ta nói với một giọng thù hằn. Căn bậc ba ! anh ta muốn căn bậc ba bằng bàn tính! Khó mà tìm thấy một phép tính sơ cấp khó khăn hơn. Đó chắc phải là bài toán hàng đầu khi sử dụng bàn tính.
Người phục vụ viết một số lên trên tờ giấy, và đến bây giờ tôi vẫn nhớ : 1729.03. Tay người Nhật bắt đầu làm tính, lẩm bẩm cằn nhằn : “Mmmmmmagmmmbrrr”_ hắn làm như một con quỷ! Hắn nghiền ngẫm, gần như đánh vật với phép tính.
Trong khi đó tôi chỉ ngồi yên.
Một người phục vụ ngạc nhiên: “Sao anh không làm?”
“Tôi đang suy nghĩ”. Và tôi viết số 12 lên trên tờ giấy. Sau đó tôi lại viết thêm 12,002.
Người đàn ông với chiếc bàn tính vò đầu. “Mười hai” anh ta gào lên.
“ không”_ tôi nói_ “ hãy cho thêm vài con số nữa”. Tôi biết rằng khi sử dụng bàn tính để làm căn bậc ba, mỗi con số được thêm thì số phép tính lại nhiều hơn gấp bội.
Anh ta lại vò đầu một lần nữa. Rrrrrrrgmmmmmmmmmmm…… cuối cùng hắn ngẩng đầu lên và nói: “12.0!”
Những người phục vụ đều thích thú. Họ nói với người đàn ông : “ Xem kìa! Ông ấy chỉ cần suy nghĩ trong khi ông phải dùng đến máy tính. Thế mà ông ấy có nhiều đơn vị hơn.”
Tay người Nhật hoàn toàn thua cuộc, bỏ đi với vể tức tối, trong khi những người phục vụ chúc mừng tôi.
Làm sao mà một người khách lại có thể tính nhanh hơn máy tính? Con số đưa ra là 1729,03. Tôi nhớ rằng một fút vuông chứa 1728 inches vuông, vậy đáp án phải là một số lớn hơn 12 một chút. Phần dư, 1,03, chỉ là một phần nhỏ của 2000, và tôi được dạy rằng trong tính toán cho một phân số nhỏ như vậy, căn bậc ba là 1/3 của phần dư nhân với kết quả. Vì vậy tôi lấy phân số 1/1728, nhân với 4 ( tức là chia cho 3 rồi nhân với 12). Với cách này mà tôi đã lấy đượckết quả một cách rất chính xác.
Một ngày sau, tôi gặp lại người đàn ông khốn khổ nọ trong buổi tiệc tại khách sạn mà tôi đang ở. Hắn nhận ra tôi và đi tới: “Làm sao mà anh có thể tính toán nhanh như vậy?”.
Tôi bắt đầu giải thích bằng một phương pháp gần đúng: “ Giả sử anh đưa cho tôi số 28. Do căn ba của 27 là 3 nên …”
Anh ta lấy máy tính ra zzzzzzz…- “Vâng, kết quả của anh đúng rồi”. Hắn nói.
Tôi chợt nhận ra rằng người Nhật này không biết sử dụng các con số. Với chiếc máy tính, anh không cần phải nhớ quá nhiều phép toán, tất cả chỉ là học cách gạt những nút và xem kết quả. Bạn không cần biết 9 +7=16; bạn chỉ cần biết bạn có 9 nút nhỏ và gạt bớt hai nút rồi cộng thêm 9 nút ban đầu. Có thể chúng ta chậm hơn với các phép toán cơ bản, nhưng chúng ta hơn người Nhật này khi chúng ta hiểu được những con số.
Hơn thế, tất cả những phép tính xấp xỉ đã thắng anh ta, mặc dù không có một phép tính chính xác nào cho căn bậc ba. Và tôi cũng sẽ không bao giờ kể với hắn rằng tôi đã may mắn thế nào khi được cho số 1729.03